Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - \sqrt{3}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} - \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{10} + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{(\sqrt{10} - \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{10} + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{30} - \sqrt{30} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{10} + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{7}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sqrt{10} + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{10} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{7}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{10} + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{10} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{10} + \sqrt{3})}^{1}}{7}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{10} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{7}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{10} + \sqrt{3})}^{2}}{7}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{10} + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(\sqrt{10} + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{10} + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{7}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{10} + \sqrt{3}) (\sqrt{10} + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{10} (\sqrt{10} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{7}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{10} + \sqrt{10} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{10} + \sqrt{3})}{7}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{10} + \sqrt{10} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{10 \cdot 10} + \sqrt{10} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.2

Умножим $10$ на $10$ .

$\frac{\sqrt{100} + \sqrt{10} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.3

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}} + \sqrt{10} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{10 + \sqrt{10} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{10 + \sqrt{10 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.6

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{3} \sqrt{10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{3 \cdot 10} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.8

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{30} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{7}$

Этап 6.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{30} + \sqrt{3 \cdot 3}}{7}$

Этап 6.1.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{30} + \sqrt{9}}{7}$

Этап 6.1.11

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{30} + \sqrt{3^{2}}}{7}$

Этап 6.1.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{10 + \sqrt{30} + \sqrt{30} + 3}{7}$

Этап 6.2

Добавим $10$ и $3$ .

$\frac{13 + \sqrt{30} + \sqrt{30}}{7}$

Этап 6.3

Добавим $\sqrt{30}$ и $\sqrt{30}$ .

$\frac{13 + 2 \sqrt{30}}{7}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13 + 2 \sqrt{30}}{7}$

Десятичная форма:

$3.42206445 \dots$