Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$0$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 0$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

Этап 4.1.4

Умножим $- 42$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $0$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 0$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 42)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 42)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x^{2} - 42 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $- 42 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $x^{2} + x - 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 42$ , а сумма — $1$ .

$- 6, 7$

Этап 8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 42 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Этап 9.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ .

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ .

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

Этап 9.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разложим $x^{2} + x - 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

$- 6, 7$

Этап 9.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

Этап 9.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 11.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 11.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 11.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 12.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 13

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 0, 6, - 7$

Этап 15