Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 144$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 16, \pm 18, \pm 24, \pm 36, \pm 48, \pm 72, \pm 144$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 16, \pm 18, \pm 24, \pm 36, \pm 48, \pm 72, \pm 144$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} + 36 (4) - 144$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 4 {(4)}^{2} + 36 (4) - 144$

Этап 4.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 4 \cdot 16 + 36 (4) - 144$

Этап 4.1.3

Умножим $- 4$ на $16$ .

$64 - 64 + 36 (4) - 144$

Этап 4.1.4

Умножим $36$ на $4$ .

$64 - 64 + 144 - 144$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $64$ из $64$ .

$0 + 144 - 144$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $144$ .

$144 - 144$

Этап 4.2.3

Вычтем $144$ из $144$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 144}{x - 4}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(36)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$36$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(36)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(144)$ под следующим членом делимого $(- 144)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$	$144$
	$1$	$0$	$36$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$	$144$
	$1$	$0$	$36$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 0 x + 36$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 36$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 36$

Этап 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Этап 7.3

Упростим $\pm \sqrt{- 36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Этап 7.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Этап 7.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Этап 7.3.4

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Этап 7.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 6$

Этап 7.3.6

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \pm 6 i$

Этап 7.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6 i$

Этап 7.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6 i$

Этап 7.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6 i, - 6 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 4) (x - 6 i) (x + 6 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 144$ .

$x = 4, 6 i, - 6 i$

Этап 10