Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \frac{1}{2 (4)} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.8

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Этап 4.1.10

Объединим $- 23$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{- 23}{2} + 12$

Этап 4.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{23}{2} + 12$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 + \frac{1 - 3}{4} + \frac{- 23}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$12 + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $12$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{12}{1} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{12}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{12}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{- 23}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 23}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23 \cdot 2}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 \cdot 4 - 2 - 23 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $12$ на $4$ .

$\frac{48 - 2 - 23 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 23$ на $2$ .

$\frac{48 - 2 - 46}{4}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $2$ из $48$ .

$\frac{46 - 46}{4}$

Этап 4.6.2

Вычтем $46$ из $46$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 4.6.3

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$
	$2$	$- 2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 23)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$	$- 24$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 24)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$	$- 12$
	$2$	$- 2$	$- 24$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$	$- 12$
	$2$	$- 2$	$- 24$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + - 2 x - 24$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 2 x - 24$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 2 x - 24)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12))$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - x) + 2 (- 12))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - x - 12))$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x + 3)))$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x + 3))$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 9.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Этап 9.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Этап 9.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Этап 9.1.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Этап 9.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Этап 9.1.3.5

Умножим $- 3$ на $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Этап 9.1.3.6

Вычтем $0.75$ из $0.25$ .

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Этап 9.1.3.7

Умножим $- 23$ на $0.5$ .

$- 0.5 - 11.5 + 12$

Этап 9.1.3.8

Вычтем $11.5$ из $- 0.5$ .

$- 12 + 12$

Этап 9.1.3.9

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 9.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

Этап 9.1.5

Разделим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Этап 9.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

Этап 9.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 9.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 9.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 9.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Этап 9.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Этап 9.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 9.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Этап 9.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Этап 9.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Этап 9.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 24 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Этап 9.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Этап 9.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 24 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Этап 9.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Этап 9.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 12$

Этап 9.1.6

Запишем $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 9.2

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

$- 4, 3$

Этап 9.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 9.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 11

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 12

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 12.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 13

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 4, - 3$

Этап 15