Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 4.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Этап 4.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Этап 4.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 2$ и $5$ .

$3 - 1 - 2$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$2 - 2$

Этап 4.3.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$	$3$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$
	$2$	$3$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$
	$2$	$3$	$- 2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$	$2$
	$2$	$3$	$- 2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$	$2$
	$2$	$3$	$- 2$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 3 (x) - 2$

Этап 7.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 2)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 2)$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Этап 8.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 8.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Этап 8.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Этап 8.1.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Этап 8.1.3.6

Добавим $- 2$ и $5$ .

$3 - 1 - 2$

Этап 8.1.3.7

Вычтем $1$ из $3$ .

$2 - 2$

Этап 8.1.3.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 8.1.4

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Этап 8.1.5

Разделим $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 8.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Этап 8.1.6

Запишем $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2) = 0$

Этап 8.2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2) = 0$

Этап 8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2) = 0$

Этап 8.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2) = 0$

Этап 8.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)) = 0$

Этап 8.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 11

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 12

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (2 x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - 2$

Этап 14