Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 6 y + 2 z^{2} - 4 z + 5$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 6$ и $c = 2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.4

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.5

Умножим $- 8$ на $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5

Вычтем $40$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.8

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.6.9

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.7

Перепишем $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ в виде $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4.4

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4.5

Умножим $- 8$ на $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.5

Вычтем $40$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.8

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6.9

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ в виде $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4.4

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4.5

Умножим $- 8$ на $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.5

Вычтем $40$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.8

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.6.9

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ в виде $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Этап 7