Основы мат. анализа Примеры

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$- 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 1$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 \cdot 1 + 3 (1) - 1$

Этап 4.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 3 (1) - 1$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(- 2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$

	$- 2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$
	$- 2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$
	$- 2$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 2$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 2$	$1$	$0$

Этап 6.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(- 2) x + 1$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$- 2 x + 1$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 7.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 1) (x - \frac{1}{2})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $- 2 x^{2} + 3 x - 1$ .

$x = 1, \frac{1}{2}$

Этап 10