Основы мат. анализа Примеры

$13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 13$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$13 {(- 1)}^{4} + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$13 \cdot 1 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4.1.2

Умножим $13$ на $1$ .

$13 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$13 + 12 \cdot - 1 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4.1.4

Умножим $12$ на $- 1$ .

$13 - 12 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$13 - 12 - 27 \cdot 1 - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4.1.6

Умножим $- 27$ на $1$ .

$13 - 12 - 27 - 24 \cdot - 1 + 2$

Этап 4.1.7

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$13 - 12 - 27 + 24 + 2$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $12$ из $13$ .

$1 - 27 + 24 + 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $27$ из $1$ .

$- 26 + 24 + 2$

Этап 4.2.3

Добавим $- 26$ и $24$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.2.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(13)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

	$13$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 13)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$	$- 1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 27)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 26)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(26)$ под следующим членом делимого $(- 24)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$13 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 26) x + 2$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$13 x^{3} - x^{2} - 26 x + 2$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (13 x^{3} - x^{2}) - 26 x + 2$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) + x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

$(x + 1) x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $13 x - 1$ .

$(x + 1) (13 x - 1) (x^{2} - 2)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$12 x^{3} - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 {(x^{2})}^{2} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Этап 9.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 13 \cdot 2 = 26$ , а сумма — $b = - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $- 27$ из $- 27 u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Этап 9.5.1.2

Запишем $- 27$ как $- 1$ плюс $- 26$

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} + (- 1 - 26) u + 2 = 0$

Этап 9.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Этап 9.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Этап 9.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$12 x (x^{2} - 2) + u (13 u - 1) - 2 (13 u - 1) = 0$

Этап 9.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $13 u - 1$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + 13 x^{2} - 1) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 2) (12 u + 13 u^{2} - 1) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 u - 1) = 0$

Этап 9.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 13 \cdot - 1 = - 13$ , а сумма — $b = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 u$ .

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 (u) - 1) = 0$

Этап 9.9.2.2

Запишем $12$ как $- 1$ плюс $13$

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + (- 1 + 13) u - 1) = 0$

Этап 9.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} - 1 u + 13 u - 1) = 0$

Этап 9.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} - 2) ((13 u^{2} - 1 u) + 13 u - 1) = 0$

Этап 9.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} - 2) (u (13 u - 1) + 1 (13 u - 1)) = 0$

Этап 9.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $13 u - 1$ .

$(x^{2} - 2) ((13 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 2) ((13 x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$13 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 12

Приравняем $13 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $13 x - 1$ к $0$ .

$13 x - 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $13 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$13 x = 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $13 x = 1$ на $13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $13 x = 1$ на $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{13}$

Этап 13

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Десятичная форма:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 0.\overline{076923}, - 1$

Этап 16