Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.8

Объединим $- 13$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 (\frac{1}{4}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 (3) \frac{1}{4} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.13.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.13.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.13.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 3 (\frac{1}{2}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.14

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Этап 4.1.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 (32) \frac{1}{2} - 32$

Этап 4.1.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 \cdot 32 \frac{1}{2} - 32$

Этап 4.1.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 32 - 32$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$32 - 32 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $13$ из $1$ .

$32 - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{32}{1} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32}{1} \cdot \frac{8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3.4

Запишем $- 32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 32}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{- 32}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Этап 4.3.7

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.9

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 \cdot 8 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $32$ на $8$ .

$\frac{256 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 32$ на $8$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Этап 4.5.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 12}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $256$ из $256$ .

$\frac{0 - 12 + 12}{8}$

Этап 4.6.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$\frac{- 12 + 12}{8}$

Этап 4.6.3

Добавим $- 12$ и $12$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.4

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 13)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$	$- 12$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$0$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(64)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(64)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(32)$ под следующим членом делимого $(- 32)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (0) x + 64$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 64)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 64)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перегруппируем члены.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 8.2

Вынесем множитель $32$ из $64 x - 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $32$ из $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $32$ из $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 8.2.3

Вынесем множитель $32$ из $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 8.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Этап 8.3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 8.3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 8.3.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Этап 8.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Этап 8.4.1.1.2

Запишем $- 13$ как $- 1$ плюс $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Этап 8.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Этап 8.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Этап 8.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Этап 8.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Этап 8.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Этап 8.5

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Этап 8.5.2

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Этап 8.5.3

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Этап 8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 8.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 8.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 8.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 8.8

Перенесем $- 6$ влево от $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Этап 8.9

Изменим порядок членов.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Этап 8.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Перепишем $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 8.10.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Этап 8.10.1.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 8.10.1.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 8.10.1.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Этап 8.10.1.1.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Этап 8.10.1.1.3.5

Вычтем $24$ из $- 8$ .

$- 32 + 32$

Этап 8.10.1.1.3.6

Добавим $- 32$ и $32$ .

$0$

Этап 8.10.1.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Этап 8.10.1.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 8.10.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Этап 8.10.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 8.10.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 8.10.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 8.10.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 8.10.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 8.10.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 8.10.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 8.10.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Этап 8.10.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 8.10.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 8.10.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 8.10.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Этап 8.10.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Этап 8.10.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 8 x + 16$

Этап 8.10.1.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Этап 8.10.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Этап 8.10.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 8.10.1.2.3

Перепишем многочлен.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 8.10.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 8.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 12

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 12.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 12.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Этап 14