Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 21 x^{2} - 100$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 25, \pm 50, \pm 100$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 25, \pm 50, \pm 100$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(5)}^{4} - 21 {(5)}^{2} - 100$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$625 - 21 {(5)}^{2} - 100$

Этап 4.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$625 - 21 \cdot 25 - 100$

Этап 4.1.3

Умножим $- 21$ на $25$ .

$625 - 525 - 100$

Этап 4.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $525$ из $625$ .

$100 - 100$

Этап 4.2.2

Вычтем $100$ из $100$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $5$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 21 x^{2} - 100}{x - 5}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$
	$1$	$5$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(25)$ под следующим членом делимого $(- 21)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(20)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$
	$1$	$5$	$4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$
	$1$	$5$	$4$	$20$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(20)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(100)$ под следующим членом делимого $(- 100)$ .

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$	$100$
	$1$	$5$	$4$	$20$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$0$	$- 21$	$0$	$- 100$
		$5$	$25$	$20$	$100$
	$1$	$5$	$4$	$20$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (4) x + 20$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 5) (x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 5) + x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)$

$(x - 5) x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 5$ .

$(x - 5) (x + 5) (x^{2} + 4)$

Этап 9

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 21 u - 100 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 10

Разложим $u^{2} - 21 u - 100$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 100$ , а сумма — $- 21$ .

$- 25, 4$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 25) (u + 4) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 25 = 0$

$u + 4 = 0$

Этап 12

Приравняем $u - 25$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $u - 25$ к $0$ .

$u - 25 = 0$

Этап 12.2

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$u = 25$

Этап 13

Приравняем $u + 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $u + 4$ к $0$ .

$u + 4 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u = - 4$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 25) (u + 4) = 0$ верно.

$u = 25, - 4$

Этап 15

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 25$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Этап 16

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 25$

Этап 17

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 17.2

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 17.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 17.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 17.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 17.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 18

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Этап 19

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 4$

Этап 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 19.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 19.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 19.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 19.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 19.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 19.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 19.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 19.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 19.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 20

Решением $x^{4} - 21 x^{2} - 100 = 0$ является $x = 5, - 5, 2 i, - 2 i$ .

$x = 5, - 5, 2 i, - 2 i$

Этап 21