Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 2 x^{3} + 78 x^{2} + 166 x + 85$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 17, \pm 85$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 5, \pm 17, \pm 85$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 78 {(- 1)}^{2} + 166 (- 1) + 85$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 78 {(- 1)}^{2} + 166 (- 1) + 85$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 78 {(- 1)}^{2} + 166 (- 1) + 85$

Этап 4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2 + 78 {(- 1)}^{2} + 166 (- 1) + 85$

Этап 4.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 2 + 78 \cdot 1 + 166 (- 1) + 85$

Этап 4.1.5

Умножим $78$ на $1$ .

$1 + 2 + 78 + 166 (- 1) + 85$

Этап 4.1.6

Умножим $166$ на $- 1$ .

$1 + 2 + 78 - 166 + 85$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + 78 - 166 + 85$

Этап 4.2.2

Добавим $3$ и $78$ .

$81 - 166 + 85$

Этап 4.2.3

Вычтем $166$ из $81$ .

$- 85 + 85$

Этап 4.2.4

Добавим $- 85$ и $85$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 78 x^{2} + 166 x + 85}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 3)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(78)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$81$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(81)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 81)$ под следующим членом делимого $(166)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$	$3$	$- 81$
	$1$	$- 3$	$81$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$	$3$	$- 81$
	$1$	$- 3$	$81$	$85$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(85)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 85)$ под следующим членом делимого $(85)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$	$3$	$- 81$	$- 85$
	$1$	$- 3$	$81$	$85$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$78$	$166$	$85$
		$- 1$	$3$	$- 81$	$- 85$
	$1$	$- 3$	$81$	$85$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (81) x + 85$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 3 x^{2} + 81 x + 85$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + 81 x + 85$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 85, \pm 5, \pm 17$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 85, \pm 5, \pm 17$

Этап 7.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 81 \cdot - 1 + 85$

Этап 7.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 81 \cdot - 1 + 85$

Этап 7.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 81 \cdot - 1 + 85$

Этап 7.1.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 1 - 3 + 81 \cdot - 1 + 85$

Этап 7.1.3.5

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- 4 + 81 \cdot - 1 + 85$

Этап 7.1.3.6

Умножим $81$ на $- 1$ .

$- 4 - 81 + 85$

Этап 7.1.3.7

Вычтем $81$ из $- 4$ .

$- 85 + 85$

Этап 7.1.3.8

Добавим $- 85$ и $85$ .

$0$

Этап 7.1.4

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 81 x + 85}{x + 1}$

Этап 7.1.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 81 x + 85$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$81 x$

$85$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$85 x$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$85 x$	+	$85$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $85 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$85$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$85 x$	+	$85$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$85$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$85 x$	+	$85$
							+	$85 x$	+	$85$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $85 x + 85$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$85$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$85 x$	+	$85$
							-	$85 x$	-	$85$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$85$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$81 x$	+	$85$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$85 x$	+	$85$
							-	$85 x$	-	$85$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 85$

Этап 7.1.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + 81 x + 85$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 85) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 85 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.4

Приравняем $x^{2} - 4 x + 85$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x^{2} - 4 x + 85$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 85 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $x^{2} - 4 x + 85 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 85$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 85)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 85}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 85}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $85$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 340}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Вычтем $340$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $- 324$ в виде $- 1 (324)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (324)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.7

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.9

Перенесем $18$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 18 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 18 i}{2}$

Этап 7.4.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 18 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 9 i$

Этап 7.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 85}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 85}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $85$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 340}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.3

Вычтем $340$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4

Перепишем $- 324$ в виде $- 1 (324)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (324)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.7

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.9

Перенесем $18$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 18 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 18 i}{2}$

Этап 7.4.2.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 18 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 9 i$

Этап 7.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + 9 i$

Этап 7.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 85}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 85}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $85$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 340}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.3

Вычтем $340$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4

Перепишем $- 324$ в виде $- 1 (324)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (324)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.7

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.9

Перенесем $18$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 18 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 18 i}{2}$

Этап 7.4.2.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 18 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 9 i$

Этап 7.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - 9 i$

Этап 7.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 9 i, 2 - 9 i$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{2} - 4 x + 85) = 0$ верно.

$x = - 1, 2 + 9 i, 2 - 9 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 1) (x - 2 - 9 i) (x - 2 + 9 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{4} - 2 x^{3} + 78 x^{2} + 166 x + 85$ .

$x = - 1, 2 + 9 i, 2 - 9 i$

Этап 10