Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Этап 4.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Этап 4.1.5

Умножим $- 14$ на $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Этап 4.1.6

Умножим $- 36$ на $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Этап 4.2.2

Вычтем $14$ из $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Этап 4.2.3

Вычтем $36$ из $- 9$ .

$- 45 + 45$

Этап 4.2.4

Добавим $- 45$ и $45$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 9)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 45)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 45)$ под следующим членом делимого $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Этап 9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Этап 11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перегруппируем члены.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Этап 11.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Этап 11.7

Разложим $u^{2} - 14 u + 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $45$ , а сумма — $- 14$ .

$- 9, - 5$

Этап 11.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Этап 11.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Этап 11.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Этап 11.10

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Этап 11.11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Этап 11.11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Этап 11.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Этап 11.13

Разложим $4 u + u^{2} - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 11.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Этап 11.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Этап 11.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 13

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 14

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 14.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 15

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 15.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 16

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 16.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 17

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Этап 18