Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$81 + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Этап 4.1.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$81 + 6 \cdot - 27 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Этап 4.1.3

Умножим $6$ на $- 27$ .

$81 - 162 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Этап 4.1.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$81 - 162 + 11 \cdot 9 + 12 (- 3) + 18$

Этап 4.1.5

Умножим $11$ на $9$ .

$81 - 162 + 99 + 12 (- 3) + 18$

Этап 4.1.6

Умножим $12$ на $- 3$ .

$81 - 162 + 99 - 36 + 18$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $162$ из $81$ .

$- 81 + 99 - 36 + 18$

Этап 4.2.2

Добавим $- 81$ и $99$ .

$18 - 36 + 18$

Этап 4.2.3

Вычтем $36$ из $18$ .

$- 18 + 18$

Этап 4.2.4

Добавим $- 18$ и $18$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18}{x + 3}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$	$3$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(11)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$	$2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$	$6$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 18)$ под следующим членом делимого $(18)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (2) x + 6$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 x + 6$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 3) + x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

$(x + 3) x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 3$ .

$(x + 3) (x + 3) (x^{2} + 2)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$6 x^{3} + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $12 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{2}) + 6 x (2)$ .

$6 x (x^{2} + 2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$6 x (x^{2} + 2) + u^{2} + 11 u + 18 = 0$

Этап 9.5

Разложим $u^{2} + 11 u + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $11$ .

$2, 9$

Этап 9.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (u + 9) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $6 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 2) (6 x + x^{2} + 9) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 2) (6 u + u^{2} + 9) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Переставляем члены.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 9) = 0$

Этап 9.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 3^{2}) = 0$

Этап 9.9.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 9.9.4

Перепишем многочлен.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 9.9.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 3)}^{2} = 0$

Этап 9.10

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 12

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 12.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 12.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 3$

Этап 14