Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 8 x^{3} + 15 x^{2} + 58 x + 34$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 17, \pm 34$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 17, \pm 34$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} + 58 (- 1) + 34$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} + 58 (- 1) + 34$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 15 {(- 1)}^{2} + 58 (- 1) + 34$

Этап 4.1.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$1 + 8 + 15 {(- 1)}^{2} + 58 (- 1) + 34$

Этап 4.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 8 + 15 \cdot 1 + 58 (- 1) + 34$

Этап 4.1.5

Умножим $15$ на $1$ .

$1 + 8 + 15 + 58 (- 1) + 34$

Этап 4.1.6

Умножим $58$ на $- 1$ .

$1 + 8 + 15 - 58 + 34$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $8$ .

$9 + 15 - 58 + 34$

Этап 4.2.2

Добавим $9$ и $15$ .

$24 - 58 + 34$

Этап 4.2.3

Вычтем $58$ из $24$ .

$- 34 + 34$

Этап 4.2.4

Добавим $- 34$ и $34$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 15 x^{2} + 58 x + 34}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$
	$1$	$- 9$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 9)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$	$24$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(24)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 24)$ под следующим членом делимого $(58)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$	$9$	$- 24$
	$1$	$- 9$	$24$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$	$9$	$- 24$
	$1$	$- 9$	$24$	$34$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(34)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 34)$ под следующим членом делимого $(34)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$	$9$	$- 24$	$- 34$
	$1$	$- 9$	$24$	$34$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 8$	$15$	$58$	$34$
		$- 1$	$9$	$- 24$	$- 34$
	$1$	$- 9$	$24$	$34$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + - 9 x^{2} + (24) x + 34$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 34$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 34$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

Этап 7.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 34$

Этап 7.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 34$

Этап 7.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot - 1 + 34$

Этап 7.1.3.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 1 - 9 + 24 \cdot - 1 + 34$

Этап 7.1.3.5

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$- 10 + 24 \cdot - 1 + 34$

Этап 7.1.3.6

Умножим $24$ на $- 1$ .

$- 10 - 24 + 34$

Этап 7.1.3.7

Вычтем $24$ из $- 10$ .

$- 34 + 34$

Этап 7.1.3.8

Добавим $- 34$ и $34$ .

$0$

Этап 7.1.4

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 34}{x + 1}$

Этап 7.1.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 34$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$34$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$34 x$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$34 x$	+	$34$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $34 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$34$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$34 x$	+	$34$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$34$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$34 x$	+	$34$
							+	$34 x$	+	$34$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $34 x + 34$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$34$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$34 x$	+	$34$
							-	$34 x$	-	$34$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$34$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$34$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$34 x$	+	$34$
							-	$34 x$	-	$34$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 10 x + 34$

Этап 7.1.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 34$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} - 10 x + 34) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 34 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.4

Приравняем $x^{2} - 10 x + 34$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x^{2} - 10 x + 34$ к $0$ .

$x^{2} - 10 x + 34 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $x^{2} - 10 x + 34 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 34$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $34$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Вычтем $136$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Этап 7.4.2.3.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 3 i$

Этап 7.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $34$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.3

Вычтем $136$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Этап 7.4.2.4.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 3 i$

Этап 7.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 5 + 3 i$

Этап 7.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $34$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.3

Вычтем $136$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Этап 7.4.2.5.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 3 i$

Этап 7.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 5 - 3 i$

Этап 7.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{2} - 10 x + 34) = 0$ верно.

$x = - 1, 5 + 3 i, 5 - 3 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 1) (x - 5 - 3 i) (x - 5 + 3 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{4} - 8 x^{3} + 15 x^{2} + 58 x + 34$ .

$x = - 1, 5 + 3 i, 5 - 3 i$

Этап 10