Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 6561$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27, \pm 81, \pm 243, \pm 729, \pm 2187, \pm 6561$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27, \pm 81, \pm 243, \pm 729, \pm 2187, \pm 6561$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(9)}^{4} - 6561$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 9$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $9$ в степень $4$ .

$6561 - 6561$

Этап 4.2

Вычтем $6561$ из $6561$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $9$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 9$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 6561}{x - 9}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$
	$1$	$9$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(81)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$	$81$
	$1$	$9$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$	$81$
	$1$	$9$	$81$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(81)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(729)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$	$81$	$729$
	$1$	$9$	$81$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$	$81$	$729$
	$1$	$9$	$81$	$729$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(729)$ на делитель $(9)$ и запишем их произведение $(6561)$ под следующим членом делимого $(- 6561)$ .

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$	$81$	$729$	$6561$
	$1$	$9$	$81$	$729$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$9$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 6561$
		$9$	$81$	$729$	$6561$
	$1$	$9$	$81$	$729$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 9 x^{2} + (81) x + 729$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 9 x^{2} + 81 x + 729$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 9) (x^{3} + 9 x^{2}) + 81 x + 729$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 9) + x^{2} (x + 9) + 81 (x + 9)$

$(x - 9) x^{2} (x + 9) + 81 (x + 9)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 9$ .

$(x - 9) (x + 9) (x^{2} + 81)$

Этап 9

Добавим $6561$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} = 6561$

Этап 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{6561}$

Этап 11

Упростим $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $6561$ в виде $9^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Этап 11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 9$

Этап 12

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 9$

Этап 12.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 9$

Этап 12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 9, - 9$

Этап 13