Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 9 x^{2}$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$0$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(0)}^{4} - 9 {(0)}^{2}$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 0$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Этап 4.1.3

Умножим $- 9$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $0$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 0$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{x + 0}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 9)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (- 9) x + 0$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 9 x$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} - 9 x)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $- 9 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 9))$

Этап 8

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 3^{2}))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 0) (x ((x + 3) (x - 3)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 0) (x (x + 3) (x - 3))$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} = 0$

Этап 10.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 9 u = 0$

Этап 10.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 9 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 9 u = 0$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 9 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 9$ .

$u (u - 9) = 0$

Этап 10.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 12

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 12.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 12.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 12.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 13

Приравняем $x^{2} - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x^{2} - 9$ к $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 13.2

Решим $x^{2} - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ верно.

$x = 0, 3, - 3$

Этап 15