Основы мат. анализа Примеры

$x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 1 \cdot 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 1 + 7 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.5

Умножим $7$ на $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 1 + 7 - 7 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 (1) - 12$

Этап 4.1.8

Умножим $12$ на $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 - 12$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + 7 - 7 + 12 - 12$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $7$ .

$7 - 7 + 12 - 12$

Этап 4.2.3

Вычтем $7$ из $7$ .

$0 + 12 - 12$

Этап 4.2.4

Добавим $0$ и $12$ .

$12 - 12$

Этап 4.2.5

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$7$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(7)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(12)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(12)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$	$0$

Этап 6.13

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 0 x + 12$

Этап 6.14

Упростим частное многочленов.

$x^{4} + 7 x^{2} + 12$

Этап 7

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12$

Этап 8

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(x - 1) u^{2} + 7 u + 12$

Этап 9

Разложим $u^{2} + 7 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) + (u + 3) (u + 4)$

$(x - 1) (u + 3) (u + 4)$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$

Этап 11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + 7 x^{3} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.2.3

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (7 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} + 7 u + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.5

Разложим $u^{2} + 7 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

$3, 4$

Этап 11.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u + 3) (u + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} + 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.7

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Этап 11.8

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Этап 11.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Этап 11.9.1.2

Запишем $- 7$ как $- 3$ плюс $- 4$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 3 - 4) u - 12 = 0$

Этап 11.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Этап 11.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Этап 11.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 3) + 4 (- u - 3) = 0$

Этап 11.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 3$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- u - 3) (u + 4) = 0$

Этап 11.10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 11.11

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 11.11.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.11.3

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.12

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.13

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.13.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{2} + 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.13.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.14

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Этап 11.15

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 4) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Этап 11.16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.16.1

Перепишем $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.16.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.16.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 4) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Этап 11.16.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 4) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Этап 11.16.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Этап 11.16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 13

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 13.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 13.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 13.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 13.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 13.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 13.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 14

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 14.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 15

Приравняем $x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x^{2} + 3$ к $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 15.2

Решим $x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 3$

Этап 15.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 15.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 15.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 15.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 15.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 15.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 15.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 16

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 17