Основы мат. анализа Примеры

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.7

Умножим $22$ на $1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

Этап 4.1.8

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

Этап 4.2.2

Добавим $- 5$ и $3$ .

$- 2 + 22 + 4 - 24$

Этап 4.2.3

Добавим $- 2$ и $22$ .

$20 + 4 - 24$

Этап 4.2.4

Добавим $20$ и $4$ .

$24 - 24$

Этап 4.2.5

Вычтем $24$ из $24$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 5)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(22)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(20)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 20)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(- 24)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(24)$ под следующим членом делимого $(- 24)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

Этап 6.13

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Этап 6.14

Упростим частное многочленов.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 5 x^{3} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $- 5 x$ из $20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ .

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Этап 7.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Этап 7.1.7

Разложим $u^{2} + 2 u - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $2$ .

$- 4, 6$

Этап 7.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

Этап 7.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 7.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 7.1.10

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 7.1.11

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $- 5 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 7.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

Этап 7.1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

Этап 7.1.13

Разложим $- 5 u + u^{2} + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 7.1.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

Этап 7.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Этап 7.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 7.1.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.15.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Этап 7.1.15.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Этап 7.1.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Этап 7.1.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.4

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 7.4.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.4.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 2, 2, 3$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ .

$x = - 1, - 2, 2, 3$

Этап 10