Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 10 x^{3} + 26 x^{2} + 10 x + 25$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 5)}^{4} + 10 {(- 5)}^{3} + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$625 + 10 {(- 5)}^{3} + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

Этап 4.1.2

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$625 + 10 \cdot - 125 + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

Этап 4.1.3

Умножим $10$ на $- 125$ .

$625 - 1250 + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

Этап 4.1.4

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$625 - 1250 + 26 \cdot 25 + 10 (- 5) + 25$

Этап 4.1.5

Умножим $26$ на $25$ .

$625 - 1250 + 650 + 10 (- 5) + 25$

Этап 4.1.6

Умножим $10$ на $- 5$ .

$625 - 1250 + 650 - 50 + 25$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1250$ из $625$ .

$- 625 + 650 - 50 + 25$

Этап 4.2.2

Добавим $- 625$ и $650$ .

$25 - 50 + 25$

Этап 4.2.3

Вычтем $50$ из $25$ .

$- 25 + 25$

Этап 4.2.4

Добавим $- 25$ и $25$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} + 26 x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(10)$ .

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$
	$1$	$5$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 25)$ под следующим членом делимого $(26)$ .

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$	$1$

Этап 6.7

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$
	$1$	$5$	$1$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$
	$1$	$5$	$1$	$5$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 25)$ под следующим членом делимого $(25)$ .

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$	$1$	$5$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$	$1$	$5$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (1) x + 5$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 5 x^{2} + x + 5$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 5) (x^{3} + 5 x^{2}) + x + 5$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 5) + x^{2} (x + 5) + 1 (x + 5)$

$(x + 5) x^{2} (x + 5) + 1 (x + 5)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 5$ .

$(x + 5) (x + 5) (x^{2} + 1)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$10 x^{3} + 10 x + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (1) + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (x^{2}) + 10 x (1)$ .

$10 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 26 x^{2} + 25 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$10 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 26 u + 25 = 0$

Этап 9.5

Разложим $u^{2} + 26 u + 25$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $25$ , а сумма — $26$ .

$1, 25$

Этап 9.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$10 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 25) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $10 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $10 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (10 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (10 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 1) (10 x + x^{2} + 25) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 1) (10 u + u^{2} + 25) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Переставляем члены.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 10 u + 25) = 0$

Этап 9.9.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 10 u + 5^{2}) = 0$

Этап 9.9.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

Этап 9.9.4

Перепишем многочлен.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 9.9.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 5$ .

$(x^{2} + 1) {(u + 5)}^{2} = 0$

Этап 9.10

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 11.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 12

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 12.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 12.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) {(x + 5)}^{2} = 0$ верно.

$x = i, - i, - 5$

Этап 14