Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 12 x - 16$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 16$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2 - 16$

Этап 4.1.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- 8 + 24 - 16$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 8$ и $24$ .

$16 - 16$

Этап 4.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 12 x - 16}{x + 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$- 2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$
		$- 2$	$4$
	$1$	$- 2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$
		$- 2$	$4$
	$1$	$- 2$	$- 8$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$
		$- 2$	$4$	$16$
	$1$	$- 2$	$- 8$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$1$	$0$	$- 12$	$- 16$
		$- 2$	$4$	$16$
	$1$	$- 2$	$- 8$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + - 2 x - 8$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 2 x - 8$

Этап 7

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) + (x - 4) (x + 2)$

$(x + 2) (x - 4) (x + 2)$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $x^{3} - 12 x - 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 8.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 16$

Этап 8.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2 - 16$

Этап 8.1.3.3

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- 8 + 24 - 16$

Этап 8.1.3.4

Добавим $- 8$ и $24$ .

$16 - 16$

Этап 8.1.3.5

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 8.1.4

$\frac{x^{3} - 12 x - 16}{x + 2}$

Этап 8.1.5

Разделим $x^{3} - 12 x - 16$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$16$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	+	$16$
										$0$

Этап 8.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 8$

Этап 8.1.6

Запишем $x^{3} - 12 x - 16$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Этап 8.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

$- 4, 2$

Этап 8.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 11

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 4$

Этап 13