Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$9 {(- 1)}^{4} + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$9 \cdot 1 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Этап 4.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Этап 4.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$9 + 10 \cdot - 1 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Этап 4.1.4

Умножим $10$ на $- 1$ .

$9 - 10 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Этап 4.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 - 10 + 19 \cdot 1 + 20 (- 1) + 2$

Этап 4.1.6

Умножим $19$ на $1$ .

$9 - 10 + 19 + 20 (- 1) + 2$

Этап 4.1.7

Умножим $20$ на $- 1$ .

$9 - 10 + 19 - 20 + 2$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $10$ из $9$ .

$- 1 + 19 - 20 + 2$

Этап 4.2.2

Добавим $- 1$ и $19$ .

$18 - 20 + 2$

Этап 4.2.3

Вычтем $20$ из $18$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.2.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(9)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

	$9$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(10)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(19)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$	$18$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(18)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 18)$ под следующим членом делимого $(20)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (18) x + 2$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$9 x^{3} + x^{2} + 18 x + 2$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (9 x^{3} + x^{2}) + 18 x + 2$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) + x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

$(x + 1) x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x + 1$ .

$(x + 1) (9 x + 1) (x^{2} + 2)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $20 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2 = 0$

Этап 9.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ , а сумма — $b = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $19$ из $19 u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2 = 0$

Этап 9.5.1.2

Запишем $19$ как $1$ плюс $18$

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2 = 0$

Этап 9.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2 = 0$

Этап 9.5.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Этап 9.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Этап 9.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1) = 0$

Этап 9.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u + 1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $10 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1) = 0$

Этап 9.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10 u$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1) = 0$

Этап 9.9.2.2

Запишем $10$ как $1$ плюс $9$

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1) = 0$

Этап 9.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1) = 0$

Этап 9.9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1) = 0$

Этап 9.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1) = 0$

Этап 9.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1)) = 0$

Этап 9.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 12

Приравняем $9 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $9 x + 1$ к $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $9 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 x = - 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Этап 12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{9}$

Этап 13

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - \frac{1}{9}, - 1$

Этап 15