Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{4} + 46 x^{3} + 68 x^{2} + 322 x + 35$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{9}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{9}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{9}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$9 {(- 5)}^{4} + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$9 \cdot 625 + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Этап 4.1.2

Умножим $9$ на $625$ .

$5625 + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Этап 4.1.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$5625 + 46 \cdot - 125 + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Этап 4.1.4

Умножим $46$ на $- 125$ .

$5625 - 5750 + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Этап 4.1.5

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$5625 - 5750 + 68 \cdot 25 + 322 (- 5) + 35$

Этап 4.1.6

Умножим $68$ на $25$ .

$5625 - 5750 + 1700 + 322 (- 5) + 35$

Этап 4.1.7

Умножим $322$ на $- 5$ .

$5625 - 5750 + 1700 - 1610 + 35$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5750$ из $5625$ .

$- 125 + 1700 - 1610 + 35$

Этап 4.2.2

Добавим $- 125$ и $1700$ .

$1575 - 1610 + 35$

Этап 4.2.3

Вычтем $1610$ из $1575$ .

$- 35 + 35$

Этап 4.2.4

Добавим $- 35$ и $35$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{9 x^{4} + 46 x^{3} + 68 x^{2} + 322 x + 35}{x + 5}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(9)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$

	$9$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 45)$ под следующим членом делимого $(46)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$
	$9$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$
	$9$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(68)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$
	$9$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$
	$9$	$1$	$63$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(63)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 315)$ под следующим членом делимого $(322)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$
	$9$	$1$	$63$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$
	$9$	$1$	$63$	$7$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 35)$ под следующим членом делимого $(35)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$	$- 35$
	$9$	$1$	$63$	$7$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$	$- 35$
	$9$	$1$	$63$	$7$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (63) x + 7$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$9 x^{3} + x^{2} + 63 x + 7$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 5) (9 x^{3} + x^{2}) + 63 x + 7$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 5) + x^{2} (9 x + 1) + 7 (9 x + 1)$

$(x + 5) x^{2} (9 x + 1) + 7 (9 x + 1)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x + 1$ .

$(x + 5) (9 x + 1) (x^{2} + 7)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$46 x^{3} + 322 x + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $46 x$ из $46 x^{3} + 322 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $46 x$ из $46 x^{3}$ .

$46 x (x^{2}) + 322 x + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $46 x$ из $322 x$ .

$46 x (x^{2}) + 46 x (7) + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $46 x$ из $46 x (x^{2}) + 46 x (7)$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 {(x^{2})}^{2} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 68 u + 35 = 0$

Этап 9.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 35 = 315$ , а сумма — $b = 68$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $68$ из $68 u$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 68 (u) + 35 = 0$

Этап 9.5.1.2

Запишем $68$ как $5$ плюс $63$

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + (5 + 63) u + 35 = 0$

Этап 9.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 5 u + 63 u + 35 = 0$

Этап 9.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 5 u + 63 u + 35 = 0$

Этап 9.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$46 x (x^{2} + 7) + u (9 u + 5) + 7 (9 u + 5) = 0$

Этап 9.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u + 5$ .

$46 x (x^{2} + 7) + (9 u + 5) (u + 7) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$46 x (x^{2} + 7) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $46 x (x^{2} + 7) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $46 x (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (46 x) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $(9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (46 x) + (x^{2} + 7) (9 x^{2} + 5) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $(x^{2} + 7) (46 x) + (x^{2} + 7) (9 x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 7) (46 x + 9 x^{2} + 5) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 7) (46 u + 9 u^{2} + 5) = 0$

Этап 9.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 46 u + 5) = 0$

Этап 9.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 5 = 45$ , а сумма — $b = 46$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.2.1

Вынесем множитель $46$ из $46 u$ .

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 46 (u) + 5) = 0$

Этап 9.9.2.2

Запишем $46$ как $1$ плюс $45$

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + (1 + 45) u + 5) = 0$

Этап 9.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 1 u + 45 u + 5) = 0$

Этап 9.9.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + u + 45 u + 5) = 0$

Этап 9.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 7) ((9 u^{2} + u) + 45 u + 5) = 0$

Этап 9.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 7) (u (9 u + 1) + 5 (9 u + 1)) = 0$

Этап 9.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 7) ((9 u + 1) (u + 5)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 7) ((9 x + 1) (x + 5)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 7) (9 x + 1) (x + 5) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 7$ к $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 7$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{7}$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{7}$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Этап 12

Приравняем $9 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $9 x + 1$ к $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $9 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 x = - 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Этап 12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{9}$

Этап 13

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 7) (9 x + 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}, - \frac{1}{9}, - 5$

Этап 15