Основы мат. анализа Примеры

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.2

Умножим $5$ на $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.4

Умножим $- 36$ на $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.6

Умножим $62$ на $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.8

Умножим $- 46$ на $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

Этап 4.1.9

Умножим $57$ на $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $576$ из $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

Этап 4.2.2

Добавим $- 416$ и $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

Этап 4.2.3

Вычтем $184$ из $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

Этап 4.2.4

Добавим $- 104$ и $114$ .

$10 - 10$

Этап 4.2.5

Вычтем $10$ из $10$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$	$- 26$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 26)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 52)$ под следующим членом делимого $(62)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(10)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(20)$ под следующим членом делимого $(- 46)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 26)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 52)$ под следующим членом делимого $(57)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(- 10)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$	$0$

Этап 6.13

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$5 x^{4} + - 26 x^{3} + 10 x^{2} + - 26 x + 5$

Этап 6.14

Упростим частное многочленов.

$5 x^{4} - 26 x^{3} + 10 x^{2} - 26 x + 5$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$- 26 x^{3} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 26 x$ из $- 26 x^{3} - 26 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $- 26 x$ из $- 26 x^{3}$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $- 26 x$ из $- 26 x$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x \cdot 1 + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $- 26 x$ из $- 26 x (x^{2}) - 26 x (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{4} + 10 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{4}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 10 x^{2} + 5 = 0$

Этап 7.1.3.2

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 = 0$

Этап 7.1.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Этап 7.1.3.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2})$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Этап 7.1.3.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 7.1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 7.1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Этап 7.1.6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 7.1.6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 7.1.6.3

Перепишем многочлен.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 7.1.6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.1.8

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 26 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.1.8.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 7.1.8.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 7.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5 \cdot 1) = 0$

Этап 7.1.10

Умножим $5$ на $1$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5) = 0$

Этап 7.1.11

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Этап 7.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.12.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.12.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ , а сумма — $b = - 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.12.1.1.1

Вынесем множитель $- 26$ из $- 26 x$ .

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Этап 7.1.12.1.1.2

Запишем $- 26$ как $- 1$ плюс $- 25$

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5) = 0$

Этап 7.1.12.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5) = 0$

Этап 7.1.12.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.12.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 1) ((5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5) = 0$

Этап 7.1.12.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 1) (x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1)) = 0$

Этап 7.1.12.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) ((5 x - 1) (x - 5)) = 0$

Этап 7.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 7.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 7.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 7.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 7.4

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 7.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 7.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$ верно.

$x = i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x - i) (x + i) (x - \frac{1}{5}) (x - 5)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$ .

$x = 2, i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Этап 10