Основы мат. анализа Примеры

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.4.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.4.4

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.5

Объединим $5$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.10

Объединим $13$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.14

Объединим $- 45$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4.1.16

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $45$ из $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $13$ и $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{18}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{18}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

Этап 4.5.2

Вычтем $40$ из $4$ .

$\frac{- 36 + 36}{4}$

Этап 4.5.3

Добавим $- 36$ и $36$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 4.5.4

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(20)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(20)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(52)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(62)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(31)$ под следующим членом делимого $(- 45)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 14)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 7)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $20 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $62 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 14 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

Этап 8.1.3

Подставим $- 0.1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $- 0.1$ в многочлен.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.2

Возведем $- 0.1$ в степень $4$ .

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.3

Умножим $20$ на $0.0001$ .

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.4

Возведем $- 0.1$ в степень $3$ .

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.5

Умножим $52$ на $- 0.001$ .

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.6

Вычтем $0.052$ из $0.002$ .

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.7

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.8

Умножим $- 45$ на $0.01$ .

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.9

Вычтем $0.45$ из $- 0.05$ .

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Этап 8.1.3.10

Умножим $5$ на $- 0.1$ .

$- 0.5 - 0.5 + 1$

Этап 8.1.3.11

Вычтем $0.5$ из $- 0.5$ .

$- 1 + 1$

Этап 8.1.3.12

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 0.1$ — известный корень, разделим многочлен на $10 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

Этап 8.1.5

Разделим $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ на $10 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $10 x$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 x^{4} + 2 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $50 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $50 x^{3} + 5 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 50 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 50 x^{2} - 5 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

Этап 8.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Этап 8.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Этап 8.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Этап 8.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x + 1$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Этап 8.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

Этап 8.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

Этап 8.1.6

Запишем $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ в виде набора множителей.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Этап 8.2

Разложим $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5$

Этап 8.2.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.3

Умножим $2$ на $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.5

Умножим $5$ на $0.25$ .

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.6

Добавим $0.25$ и $1.25$ .

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.7

Умножим $- 5$ на $0.5$ .

$1.5 - 2.5 + 1$

Этап 8.2.1.3.8

Вычтем $2.5$ из $1.5$ .

$- 1 + 1$

Этап 8.2.1.3.9

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 8.2.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

Этап 8.2.1.5

Разделим $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.5.1

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Этап 8.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

Этап 8.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 8.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 8.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 8.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 8.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 8.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 8.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Этап 8.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Этап 8.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Этап 8.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Этап 8.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 1$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Этап 8.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

Этап 8.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x - 1$

Этап 8.2.1.6

Запишем $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ в виде набора множителей.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $10 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $10 x + 1$ к $0$ .

$10 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $10 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$10 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $10 x = - 1$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $10 x = - 1$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{10}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{10}$

Этап 11

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 12

Приравняем $x^{2} + 3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2} + 3 x - 1$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 12.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.3

Добавим $9$ и $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.3

Добавим $9$ и $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Этап 12.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Этап 12.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.3

Добавим $9$ и $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Этап 12.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Этап 12.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

Этап 15