Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + x - 42$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(6)}^{2} + 6 - 42$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 6$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

${(6)}^{2} + 6 - 42$

Этап 4.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 + 6 - 42$

Этап 4.3

Добавим $36$ и $6$ .

$42 - 42$

Этап 4.4

Вычтем $42$ из $42$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $6$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 6$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{2} + x - 42}{x - 6}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$6$	$1$	$1$	$- 42$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$6$	$1$	$1$	$- 42$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$
	$1$	$7$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(42)$ под следующим членом делимого $(- 42)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$	$42$
	$1$	$7$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$	$42$
	$1$	$7$	$0$

Этап 6.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(1) x + 7$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$x + 7$

Этап 7

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 6) (x + 7)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{2} + x - 42$ .

$x = 6, - 7$

Этап 10