Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{8} - 13 x^{4} + 9$

Этап 1

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

$4 {(x^{4})}^{2} - 13 x^{4} + 9$

Этап 2

Пусть $u = x^{4}$ . Подставим $u$ вместо $x^{4}$ для всех.

$4 u^{2} - 13 u + 9$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 u$ .

$4 u^{2} - 13 (u) + 9$

Этап 3.1.2

Запишем $- 13$ как $- 4$ плюс $- 9$

$4 u^{2} + (- 4 - 9) u + 9$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 4 u - 9 u + 9$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 4 u) - 9 u + 9$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 u (u - 1) - 9 (u - 1)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$(u - 1) (4 u - 9)$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Этап 8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (4 x^{4} - 9)$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (4 x^{4} - 9)$

Этап 9

Перепишем $4 x^{4}$ в виде ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 9)$

Этап 10

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 3^{2})$

Этап 11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x^{2}$ и $b = 3$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3))$

Этап 11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3)$