Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$

Этап 1

Разложим $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$4 {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 4 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.3.5

Умножим $8$ на $1$ .

$- 4 + 8 - 11 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.3.6

Добавим $- 4$ и $8$ .

$4 - 11 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.3.7

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$4 + 11 - 15$

Этап 1.3.8

Добавим $4$ и $11$ .

$15 - 15$

Этап 1.3.9

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15}{x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x$

$15$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 4 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x - 15$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} + 4 x - 15$

Этап 1.6

Запишем $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 15)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 15)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $4$ как $- 6$ плюс $10$

$(x + 1) (4 x^{2} + (- 6 + 10) x - 15)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((4 x^{2} - 6 x) + 10 x - 15)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (2 x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(x + 1) ((2 x - 3) (2 x + 5))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (2 x - 3) (2 x + 5)$