Основы мат. анализа Примеры

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Этап 1

Перепишем $4 a^{2} c^{2}$ в виде ${(2 a c)}^{2}$ .

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 a c$ и $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ .

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перегруппируем члены.

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Переставляем члены.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Этап 3.1.2.3

Перепишем многочлен.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = c$ .

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3.1.3

Изменим порядок $- b^{2}$ и ${(a + c)}^{2}$ .

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a + c$ и $b = b$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

Этап 3.3

Умножим $- - b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

Этап 3.3.2

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Этап 3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перегруппируем члены.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

Этап 3.4.1.2

Добавим круглые скобки.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

Этап 3.4.1.3

Пусть $u = a c$ . Подставим $u$ вместо $a c$ для всех.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 u - a^{2} - c^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Перенесем $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

Этап 3.4.1.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- a^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

Этап 3.4.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- c^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

Этап 3.4.1.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

Этап 3.4.1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a^{2}) - (c^{2})$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

Этап 3.4.1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

Этап 3.4.1.5

Заменим все вхождения $u$ на $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

Этап 3.4.1.6

Избавимся от скобок.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

Этап 3.4.1.7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1

Переставляем члены.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

Этап 3.4.1.7.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Этап 3.4.1.7.3

Перепишем многочлен.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

Этап 3.4.1.7.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

Этап 3.4.1.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = b$ и $b = a - c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

Этап 3.4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

Этап 3.4.1.9.2

Умножим $- - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

Этап 3.4.1.9.2.2

Умножим $c$ на $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

Этап 3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$