Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Этап 3

Подставим $- 0.\overline{6}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{6}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 0.\overline{6}$ в многочлен.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Этап 3.2

Возведем $- 0.\overline{6}$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Этап 3.4

Возведем $- 0.\overline{6}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Этап 3.5

Умножим $- 4$ на $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Этап 3.6

Вычтем $1.\overline{7}$ из $- 0.\overline{8}$ .

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Этап 3.7

Умножим $8$ на $- 0.\overline{6}$ .

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

Этап 3.8

Вычтем $5.\overline{3}$ из $- 2.\overline{6}$ .

$- 8 + 8$

Этап 3.9

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $- 0.\overline{6}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8}{3 x + 2}$

Этап 5

Разделим $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ на $3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$8$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							+	$12 x$	+	$8$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x + 4$

Этап 6

Запишем $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ в виде набора множителей.

$(3 x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$