Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2} - 9 x - 2$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- 9 x^{2} - 9 x + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

Этап 2

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x^{2} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x (x) - 9 x + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x$ .

$- 9 x (x) - 9 x (1) + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x (x) - 9 x (1)$ .

$- 9 x (x + 1) + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

Этап 3

Разложим $3 x^{4} + x^{3} - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Этап 3.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$3 {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 2$

Этап 3.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$3 \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - 2$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + {(- 1)}^{3} - 2$

Этап 3.3.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 - 1 - 2$

Этап 3.3.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$2 - 2$

Этап 3.3.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} - 2}{x + 1}$

Этап 3.5

Разделим $3 x^{4} + x^{3} - 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} + 3 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Этап 3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

Этап 3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

Этап 3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

Этап 3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 2$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

Этап 3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

$0$

Этап 3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2$

Этап 3.6

Запишем $3 x^{4} + x^{3} - 2$ в виде набора множителей.

$- 9 x (x + 1) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$

Этап 4

Вынесем множитель $x + 1$ из $- 9 x (x + 1) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $- 9 x (x + 1)$ .

$(x + 1) (- 9 x) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (- 9 x) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$ .

$(x + 1) (- 9 x + 3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$

Этап 5

Добавим $- 9 x$ и $2 x$ .

$(x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2)$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разложим $3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 6.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Этап 6.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.1.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.1.1.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 3 - 2 - 7 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.1.1.3.6

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$- 5 - 7 \cdot - 1 - 2$

Этап 6.1.1.3.7

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- 5 + 7 - 2$

Этап 6.1.1.3.8

Добавим $- 5$ и $7$ .

$2 - 2$

Этап 6.1.1.3.9

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 6.1.1.4

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2}{x + 1}$

Этап 6.1.1.5

Разделим $3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.1

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$2$

Этап 6.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$

Этап 6.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 6.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 6.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Этап 6.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 6.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 6.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 6.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{2} - 5 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 6.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$

Этап 6.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 6.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 6.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 6.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 2$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 6.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 6.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} - 5 x - 2$

Этап 6.1.1.6

Запишем $3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ в виде набора множителей.

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 2))$

Этап 6.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} - 5 (x) - 2))$

Этап 6.1.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + (1 - 6) x - 2))$

Этап 6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2))$

Этап 6.1.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + x - 6 x - 2))$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((x + 1) ((3 x^{2} + x) - 6 x - 2))$

Этап 6.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) ((x + 1) (x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)))$

Этап 6.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$(x + 1) ((x + 1) ((3 x + 1) (x - 2)))$

Этап 6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) ((x + 1) (3 x + 1) (x - 2))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x + 1) (3 x + 1) (x - 2)$

Этап 7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

${(x + 1)}^{1} (x + 1) (3 x + 1) (x - 2)$

Этап 7.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

${(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (3 x + 1) (x - 2)$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 1)}^{1 + 1} (3 x + 1) (x - 2)$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x + 1)}^{2} (3 x + 1) (x - 2)$