Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 2

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{3} - 28 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{3}$ .

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 2.2

Вынесем множитель $7 x$ из $- 28 x$ .

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 2.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ .

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8$

Этап 6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 (u) - 8$

Этап 7.1.2

Запишем $- 10$ как $2$ плюс $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u^{2} + 2 u) - 12 u - 8$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2)$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4)$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4)$

Этап 9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2})$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$

Этап 11

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$

Этап 11.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$

Этап 11.3

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2)$

Этап 12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2)$

Этап 13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2)$

Этап 13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2)$

Этап 13.2.2

Запишем $7$ как $1$ плюс $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2)$

Этап 13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2)$

Этап 13.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2)$

Этап 13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2)$

Этап 13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1))$

Этап 13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2))$

Этап 14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2))$

Этап 14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2)$

Этап 15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

${(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2) (3 x + 1)$

Этап 15.2

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

${(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2) (3 x + 1)$

Этап 15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1)$

Этап 15.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1)$