Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$

Этап 1

Разложим $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Этап 1.3

Подставим $- 0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $0.01234567$ .

$0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$0.\overline{037} + 4 \cdot - 0.\overline{037} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.5

Умножим $4$ на $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 0.\overline{148} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.6

Вычтем $0.\overline{148}$ из $0.\overline{037}$ .

$- 0.11111111 - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.7

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$- 0.11111111 - 23 \cdot 0.\overline{1} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.8

Умножим $- 23$ на $0.\overline{1}$ .

$- 0.11111111 - 2.\overline{5} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.9

Вычтем $2.\overline{5}$ из $- 0.11111111$ .

$- 2.66666666 - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Этап 1.3.10

Умножим $- 44$ на $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.66666666 + 14.\overline{6} - 12$

Этап 1.3.11

Добавим $- 2.66666666$ и $14.\overline{6}$ .

$12 - 12$

Этап 1.3.12

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12}{3 x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} + x^{3}$ .

				$x^{3}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 24 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

$36 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

$36 x$

$12$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 36 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									-	$36 x$	-	$12$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 36 x - 12$ .

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									+	$36 x$	+	$12$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									+	$36 x$	+	$12$
												$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Этап 1.6

Запишем $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12)$

Этап 2

Разложим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 2.3.4

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 2.3.5

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Этап 2.3.6

Добавим $- 4$ и $16$ .

$12 - 12$

Этап 2.3.7

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 6$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) ((x + 2) (x^{2} - x - 6))$

Этап 3

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(3 x + 1) ((x + 2) ((x - 3) (x + 2)))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x + 1) ((x + 2) (x - 3) (x + 2))$

Этап 4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 3))$

Этап 4.1.2

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 3))$

Этап 4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3))$

Этап 4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{2} (x - 3))$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x + 1) {(x + 2)}^{2} (x - 3)$