Основы мат. анализа Примеры

$6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$

Этап 1

Разложим $6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 30, \pm 5, \pm 15, \pm 10, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 1.\overline{6}, \pm 3.\overline{3}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 6$

Этап 1.3

Подставим $1.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1.5$ в многочлен.

$6 \cdot {1.5}^{4} - 29 \cdot {1.5}^{3} - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.2

Возведем $1.5$ в степень $4$ .

$6 \cdot 5.0625 - 29 \cdot {1.5}^{3} - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.3

Умножим $6$ на $5.0625$ .

$30.375 - 29 \cdot {1.5}^{3} - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.4

Возведем $1.5$ в степень $3$ .

$30.375 - 29 \cdot 3.375 - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.5

Умножим $- 29$ на $3.375$ .

$30.375 - 97.875 - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.6

Вычтем $97.875$ из $30.375$ .

$- 67.5 - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.7

Возведем $1.5$ в степень $2$ .

$- 67.5 - 32 \cdot 2.25 + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.8

Умножим $- 32$ на $2.25$ .

$- 67.5 - 72 + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.9

Вычтем $72$ из $- 67.5$ .

$- 139.5 + 73 \cdot 1.5 + 30$

Этап 1.3.10

Умножим $73$ на $1.5$ .

$- 139.5 + 109.5 + 30$

Этап 1.3.11

Добавим $- 139.5$ и $109.5$ .

$- 30 + 30$

Этап 1.3.12

Добавим $- 30$ и $30$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30}{2 x - 3}$

Этап 1.5

Разделим $6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$ на $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{4} - 9 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 62 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 62 x^{2} + 93 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

$20 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

$20 x$

$30$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$10$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

$20 x$

$30$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
$2 x$	-	$3$		$6 x^{4}$	-	$29 x^{3}$	-	$32 x^{2}$	+	$73 x$	+	$30$
			-	$6 x^{4}$	+	$9 x^{3}$
					-	$20 x^{3}$	-	$32 x^{2}$
					+	$20 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
							-	$62 x^{2}$	+	$73 x$
							+	$62 x^{2}$	-	$93 x$
									-	$20 x$	+	$30$
									-	$20 x$	+	$30$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x + 30$ .

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
$2 x$	-	$3$		$6 x^{4}$	-	$29 x^{3}$	-	$32 x^{2}$	+	$73 x$	+	$30$
			-	$6 x^{4}$	+	$9 x^{3}$
					-	$20 x^{3}$	-	$32 x^{2}$
					+	$20 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
							-	$62 x^{2}$	+	$73 x$
							+	$62 x^{2}$	-	$93 x$
									-	$20 x$	+	$30$
									+	$20 x$	-	$30$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
$2 x$	-	$3$		$6 x^{4}$	-	$29 x^{3}$	-	$32 x^{2}$	+	$73 x$	+	$30$
			-	$6 x^{4}$	+	$9 x^{3}$
					-	$20 x^{3}$	-	$32 x^{2}$
					+	$20 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
							-	$62 x^{2}$	+	$73 x$
							+	$62 x^{2}$	-	$93 x$
									-	$20 x$	+	$30$
									+	$20 x$	-	$30$
												$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$

Этап 1.6

Запишем $6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$ в виде набора множителей.

$(2 x - 3) (3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10)$

Этап 2

Разложим $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}$

Этап 2.1.3

Подставим $- 1.\overline{6}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1.\overline{6}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 1.\overline{6}$ в многочлен.

$3 {(- 1.\overline{6})}^{3} - 10 {(- 1.\overline{6})}^{2} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 1.\overline{6}$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 4.\overline{629} - 10 {(- 1.\overline{6})}^{2} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 4.\overline{629}$ .

$- 13.\overline{8} - 10 {(- 1.\overline{6})}^{2} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.4

Возведем $- 1.\overline{6}$ в степень $2$ .

$- 13.\overline{8} - 10 \cdot 2.\overline{7} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 10$ на $2.\overline{7}$ .

$- 13.\overline{8} - 27.\overline{7} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $27.\overline{7}$ из $- 13.\overline{8}$ .

$- 41.\overline{6} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 31$ на $- 1.\overline{6}$ .

$- 41.\overline{6} + 51.\overline{6} - 10$

Этап 2.1.3.8

Добавим $- 41.\overline{6}$ и $51.\overline{6}$ .

$10 - 10$

Этап 2.1.3.9

Вычтем $10$ из $10$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1.\overline{6}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10}{3 x + 5}$

Этап 2.1.5

Разделим $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ на $3 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

$3 x$

$5$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$10$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			+	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$25 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x^{2} - 25 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$
							-	$6 x$	-	$10$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 10$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$
							+	$6 x$	+	$10$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$
							+	$6 x$	+	$10$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 5 x - 2$

Этап 2.1.6

Запишем $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ в виде набора множителей.

$(2 x - 3) ((3 x + 5) (x^{2} - 5 x - 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 3) (3 x + 5) (x^{2} - 5 x - 2)$