Основы мат. анализа Примеры

$5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 12, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 4, \pm 0.8$

Этап 3

Подставим $0.8$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.8$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0.8$ в многочлен.

$5 \cdot {0.8}^{3} - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

Этап 3.2

Возведем $0.8$ в степень $3$ .

$5 \cdot 0.512 - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

Этап 3.3

Умножим $5$ на $0.512$ .

$2.56 - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

Этап 3.4

Возведем $0.8$ в степень $2$ .

$2.56 - 24 \cdot 0.64 + 0.8 + 12$

Этап 3.5

Умножим $- 24$ на $0.64$ .

$2.56 - 15.36 + 0.8 + 12$

Этап 3.6

Вычтем $15.36$ из $2.56$ .

$- 12.8 + 0.8 + 12$

Этап 3.7

Добавим $- 12.8$ и $0.8$ .

$- 12 + 12$

Этап 3.8

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $0.8$ — известный корень, разделим многочлен на $5 x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12}{5 x - 4}$

Этап 5

Разделим $5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$ на $5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$4$

$5 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$12$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$5 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x^{2} + 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							-	$15 x$	+	$12$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x - 3$

Этап 6

Запишем $5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$ в виде набора множителей.

$(5 x - 4) (x^{2} - 4 x - 3)$