Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$

Этап 1

Приравняем $- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ к $0$ .

$- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{6}$ .

$- x^{2} x^{4} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $3 x^{4}$ .

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 4 x^{2} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (x^{4}) - x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} (- 4)$ .

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x^{2} (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим $u^{2} - 3 u - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 2.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x^{2} ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Этап 2.1.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x^{2} ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- x^{2} ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- x^{2} ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.6.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2, i, - i$

Этап 3