Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$ к $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} + 17 u + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $17$ .

$1, 16$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Переставляем члены.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Этап 2.1.9.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.9.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 2.1.9.4

Перепишем многочлен.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.9.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.1.10

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = i, - i, 4$

Этап 3