Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 1$

Этап 1

Приравняем $4 x^{2} - 2 x + 1$ к $0$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 3