Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}}$

Этап 1

Приравняем $\sqrt{4 x - x^{2}}$ к $0$ .

$\sqrt{4 x - x^{2}} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x - x^{2}}$ в виде ${(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$4 x - x^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x - x^{2} = 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - u^{2} = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Этап 2.3.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Этап 2.3.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Этап 2.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.4

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 2.3.4.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 2.3.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.3.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 2.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 3