Основы мат. анализа Примеры

$r (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x^{2} + x}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x^{2} + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, - 1}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup [18, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y < 2, y \geq 18}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0, - 1}$

Диапазон: $(- \infty, 2) \cup [18, \infty), {y | y < 2, y \geq 18}$

Этап 6