Основы мат. анализа Примеры

$P (x) = 12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$

Этап 1

Приравняем $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ к $0$ .

$12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Этап 2.1.1.3

Подставим $- 0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $12$ на $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{4} - 20 \cdot 0.\overline{1} - 0.\overline{3} + 3$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $- 20$ на $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} - 2.\overline{2} - 0.\overline{3} + 3$

Этап 2.1.1.3.6

Вычтем $2.\overline{2}$ из $- 0.\overline{4}$ .

$- 2.\overline{6} - 0.\overline{3} + 3$

Этап 2.1.1.3.7

Вычтем $0.\overline{3}$ из $- 2.\overline{6}$ .

$- 3 + 3$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $- 0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3}{3 x + 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$3$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 24 x^{2} - 8 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x + 3$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	-	$3$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - 8 x + 3$

Этап 2.1.1.6

Запишем $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Этап 2.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Этап 2.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Этап 3