Основы мат. анализа Примеры

$P (x) = 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$ к $0$ .

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $32$ из $64 x - 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $32$ из $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $32$ из $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $32$ из $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Этап 2.1.4.1.1.2

Запишем $- 13$ как $- 1$ плюс $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Этап 2.1.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Этап 2.1.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Этап 2.1.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Этап 2.1.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Этап 2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 2.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 2.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 2.1.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Этап 2.1.8

Перенесем $- 6$ влево от $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.9

Изменим порядок членов.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Перепишем $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.10.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Этап 2.1.10.1.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 2.1.10.1.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 2.1.10.1.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Этап 2.1.10.1.1.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Этап 2.1.10.1.1.3.5

Вычтем $24$ из $- 8$ .

$- 32 + 32$

Этап 2.1.10.1.1.3.6

Добавим $- 32$ и $32$ .

$0$

Этап 2.1.10.1.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Этап 2.1.10.1.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 2.1.10.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Этап 2.1.10.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 2.1.10.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 2.1.10.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 2.1.10.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Этап 2.1.10.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Этап 2.1.10.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 8 x + 16$

Этап 2.1.10.1.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 2.1.10.1.2.3

Перепишем многочлен.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Этап 3