Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 50 x^{4} - 150 x^{3} - 450 x^{2} + 1350 x$

Этап 1

Приравняем $50 x^{4} - 150 x^{3} - 450 x^{2} + 1350 x$ к $0$ .

$50 x^{4} - 150 x^{3} - 450 x^{2} + 1350 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $50 x$ из $50 x^{4} - 150 x^{3} - 450 x^{2} + 1350 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $50 x$ из $50 x^{4}$ .

$50 x (x^{3}) - 150 x^{3} - 450 x^{2} + 1350 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $50 x$ из $- 150 x^{3}$ .

$50 x (x^{3}) + 50 x (- 3 x^{2}) - 450 x^{2} + 1350 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $50 x$ из $- 450 x^{2}$ .

$50 x (x^{3}) + 50 x (- 3 x^{2}) + 50 x (- 9 x) + 1350 x = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $50 x$ из $1350 x$ .

$50 x (x^{3}) + 50 x (- 3 x^{2}) + 50 x (- 9 x) + 50 x (27) = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $50 x$ из $50 x (x^{3}) + 50 x (- 3 x^{2})$ .

$50 x (x^{3} - 3 x^{2}) + 50 x (- 9 x) + 50 x (27) = 0$

Этап 2.1.1.6

Вынесем множитель $50 x$ из $50 x (x^{3} - 3 x^{2}) + 50 x (- 9 x)$ .

$50 x (x^{3} - 3 x^{2} - 9 x) + 50 x (27) = 0$

Этап 2.1.1.7

Вынесем множитель $50 x$ из $50 x (x^{3} - 3 x^{2} - 9 x) + 50 x (27)$ .

$50 x (x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27) = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$50 x ((x^{3} - 3 x^{2}) - 9 x + 27) = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$50 x (x^{2} (x - 3) - 9 (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$50 x ((x - 3) (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$50 x ((x - 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$50 x ((x - 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$50 x ((x - 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$50 x ((x - 3) (x - 3) (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.6.1.2

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$50 x ((x - 3) (x - 3) (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$50 x ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$50 x ({(x - 3)}^{2} (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$50 x {(x - 3)}^{2} (x + 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $50 x {(x - 3)}^{2} (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3, - 3$

Этап 3