Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sin (π x)}{x}$

Этап 1

Приравняем $\frac{\sin (π x)}{x}$ к $0$ .

$\frac{\sin (π x)}{x} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$\sin (π x) = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x = \arcsin (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$π x = 0$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Этап 2.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$π x = π - 0$

Этап 2.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π x = π + 0$

Этап 2.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$π x = π$

Этап 2.2.5.2

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 2.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 2.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Этап 2.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 2.2.5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 2.2.6

Найдем период $\sin (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 2.2.6.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 2.2.6.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 2.2.6.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.7

Период функции $\sin (π x)$ равен $2$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 n, 1 + 2 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3

Объединим ответы.

$x = 1 n$ , для любого целого $n$

Этап 3