Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$ к $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3} - 54 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $- 54 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ .

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 16 u + 63 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим $u^{2} - 16 u + 63$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $63$ , а сумма — $- 16$ .

$- 9, - 7$

Этап 2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 7) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.10

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $6 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.13

Разложим $6 u + u^{2} - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $6$ .

$- 1, 7$

Этап 2.1.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 7)) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 7)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, 1, - 7$

Этап 3