Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Этап 1

Приравняем $x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$ к $0$ .

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.1.5.3

Перепишем многочлен.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $7$ из $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $7$ из $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Этап 2.1.7.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Этап 2.1.7.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.9

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.1.10.3

Перепишем многочлен.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.10.4

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.1.11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.1.12

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.1.12.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Этап 2.1.12.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.3.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.3.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.3.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ верно.

$x = i, - i, - 7$

Этап 3