Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$

Этап 1

Приравняем $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ к $0$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{13}{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{x^{2} \cdot 13}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.1.2

Перенесем $13$ влево от $x^{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{4} + 2 (- 8 x^{3}) + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{13 x^{2}}{2}$ в числитель.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2}$ в числитель.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Этап 2.1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перегруппируем члены.

$- 16 x^{3} - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 16 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 16 x^{3}$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.2.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (2 x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.2.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.2.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Этап 2.2.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 u$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Этап 2.2.5.1.2

Запишем $- 13$ как $1$ плюс $- 14$

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + (1 - 14) u - 7 = 0$

Этап 2.2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + 1 u - 14 u - 7 = 0$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Этап 2.2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + u (2 u + 1) - 7 (2 u + 1) = 0$

Этап 2.2.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 u + 1) (u - 7) = 0$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.2.7

Вынесем множитель $2 x^{2} + 1$ из $- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем множитель $2 x^{2} + 1$ из $- 8 x (2 x^{2} + 1)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.2.7.2

Вынесем множитель $2 x^{2} + 1$ из $(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.2.8

Изменим порядок членов.

$(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $2 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x^{2} + 1$ к $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.4.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.4.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.4.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 8 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 8 x - 7$ к $0$ .

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Добавим $64$ и $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $92$ в виде $2^{2} \cdot 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$ верно.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Этап 3