Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$ к $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$2 x^{4} + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4}$ .

$2 x (x^{3}) + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $16 x$ .

$2 x (x^{3}) + 2 x (8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{3}) + 2 x (8)$ .

$2 x (x^{3} + 8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$2 x (x^{3} + 2^{3}) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Этап 2.1.6

Разложим $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

Этап 2.1.6.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$- {(- 2)}^{3} - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Этап 2.1.6.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- - 8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Этап 2.1.6.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Этап 2.1.6.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 - 42 \cdot 4 + 160$

Этап 2.1.6.3.5

Умножим $- 42$ на $4$ .

$8 - 168 + 160$

Этап 2.1.6.3.6

Вычтем $168$ из $8$ .

$- 160 + 160$

Этап 2.1.6.3.7

Добавим $- 160$ и $160$ .

$0$

Этап 2.1.6.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} - 42 x^{2} + 160}{x + 2}$

Этап 2.1.6.5

Разделим $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$42 x^{2}$

$0 x$

$160$

Этап 2.1.6.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$

Этап 2.1.6.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.6.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 40 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.6.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$40 x^{2}$	-	$80 x$

Этап 2.1.6.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 40 x^{2} - 80 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$

Этап 2.1.6.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$

Этап 2.1.6.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Этап 2.1.6.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $80 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Этап 2.1.6.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							+	$80 x$	+	$160$

Этап 2.1.6.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $80 x + 160$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$

Этап 2.1.6.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$
										$0$

Этап 2.1.6.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} - 40 x + 80$

Этап 2.1.6.6

Запишем $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ в виде набора множителей.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x + 2$ из $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4) - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.9.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) (2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.9.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.9.3

Умножим $4$ на $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.11

Вычтем $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 40 x + 80) = 0$

Этап 2.1.12

Вычтем $40 x$ из $8 x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80) = 0$

Этап 2.1.13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Перепишем $2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 5 x^{2}) - 32 x + 80) = 0$

Этап 2.1.13.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 5) - 16 (2 x - 5)) = 0$

Этап 2.1.13.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 5$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 16)) = 0$

Этап 2.1.13.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.13.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Этап 2.1.13.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) ((2 x - 5) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 2.1.13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Этап 3