Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1 = 0$ .

$5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 x^{3} - x^{2}) + 5 x - 1 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (5 x - 1) + 1 (5 x - 1) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 1.2.5.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 1.2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 1.2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 1.2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 1) (x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{5}, i, - i$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{1}{5}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 5 \cdot 0^{3} - 0^{2} + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.4

Упростим $5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0 + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 5 (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 1$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 1$

Этап 2.2.4.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = - 1$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 1)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{1}{5}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 1)$

Этап 4