Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ .

$4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$

Этап 1.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 1.2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Запишем $- 17$ как $- 1$ плюс $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Этап 1.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.6

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 1) (u - 4) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, 4$

Этап 1.2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Этап 1.2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.2.10.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 1.2.10.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 1.2.10.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 1.2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Этап 1.2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 4$

Этап 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.2.12.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.12.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.2.13

Решением $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{2} + 4$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Этап 2.2.4

Упростим $4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 17 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 17$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 4$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$y = 4$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 4)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 4)$

Этап 4