Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ .

$33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$

Этап 1.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$33 u^{2} - u + 121 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 1.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.4

Подставим значения $a = 33$ , $b = - 1$ и $c = 121$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (33 \cdot 121)}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 132$ на $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $15972$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $- 15971$ в виде $- 1 (15971)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15971)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 132$ на $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $15972$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $- 15971$ в виде $- 1 (15971)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15971)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 132$ на $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.1.3

Вычтем $15972$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $- 15971$ в виде $- 1 (15971)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15971)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}, \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$

Этап 1.2.11.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

Этап 1.2.11.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ на $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Этап 1.2.11.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ на $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

Этап 1.2.11.2.3.2

Возведем $\sqrt{66}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

Этап 1.2.11.2.3.3

Возведем $\sqrt{66}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

Этап 1.2.11.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.11.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

Этап 1.2.11.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{66}}^{2}$ в виде $66$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{66}$ в виде $66^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.11.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.11.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.11.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.11.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

Этап 1.2.11.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

Этап 1.2.11.2.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Этап 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$

Этап 1.2.13.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

Этап 1.2.13.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ на $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Этап 1.2.13.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ на $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

Этап 1.2.13.3.3.2

Возведем $\sqrt{66}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

Этап 1.2.13.3.3.3

Возведем $\sqrt{66}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

Этап 1.2.13.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.13.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

Этап 1.2.13.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{66}}^{2}$ в виде $66$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{66}$ в виде $66^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.13.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.13.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.13.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.13.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

Этап 1.2.13.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

Этап 1.2.13.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.2.14

Решением $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Этап 1.3

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

точки пересечения с осью x: $Нет$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 33 \cdot 0^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 33 \cdot 0^{4} - 0^{2} + 121$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Этап 2.2.4

Упростим $33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 33 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 121$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $33$ на $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} + 121$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0 + 121$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 121$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 121$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $121$ .

$y = 121$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 121)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $Нет$

Точки пересечения с осью y: $(0, 121)$

Этап 4